[선형대수학]행렬식

1. 행렬식(dterminant)

- 정방행렬 A에 실수 값 하나를 대응시키는 함수

- n차 정방행렬 전체의 집합에서 실수 집합으로의 함수

- 행렬식 A의 행렬식은

    - detA; dat(A)

    - |A|

- 기하학적 의미

- 행렬식의 귀납적 정의

  - n차 정방행렬의 행렬식은 (n-1)차 정방행렬의 행렬식과 관련지어 귀납적으로 정의

- A=(aij)를 n차 정방행렬이라 할 때 -> (n-1)차

  1) A의 (i, j) 소행렬

      A에서 i번째 행과 j번째 열을 제거시켜 구성되는 (n-1)차 정방행렬

  2) A의 (i,j) 소행렬식(minor) Mij

 

  3) A의 (i,j) 여인수(cofactor) Aij

- 행렬식의 정의

  1) 1차 정방행렬 A=(a )에 대해

      |A|=a

   

* 1번쨰 행에 의 한 행렬식 |A|의 여인수 전개(cofactor expansion) 또는 라플라스 전개(Laplace expansion)

* n차 정방행렬의 행렬식을 n차 행렬식이라고 한다

 

2. 행렬식의 성질

n차 정방행렬 A=(aij) 가 0행을 갖는다면 |A|=0이다.

 

3. 행렬 연산과 행렬식

n차 정방행렬 A에 대해

  1) E가 n차 기본행렬이면

      |EA|=|E| |A| 이다. (|E|와 |A|는 실수이다)

  2) A와 B가 행상등하면 유한개의 n차 기본행렬

       E1, E2, ..., Ek가 존재하여 다음을 만족한다.

       |A| = |E1| |E2| ... |Ek| |B|

       * A와 B가 n차 정방행렬이면 |AB| = |A||B| 이다.

          + AB=/=BA

          + |A+B|=/=|A|+|B|

n차 정방행렬 A가 정칙행렬이기 위한 필요충분조건은 |A| =/= 0이다.